Wyd. I


Wyd. II


Wyd. III

Roman Murawski
(wspó³autor: Th.Bedurftig)
Philosophie der Mathematik
Walter de Gruyter, Berlin/Nowy Jork 2010, 322 strony
wydanie drugie rozszerzone Berlin/Boston 2012, 396 stron
wydanie trzecie rozszerzone i przerobione, Berlin/Boston 2015, 484 strony

[Spis tre¶ci III wydania]

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Auf dem Weg zu den reellen Zahlen

    1.1 Irrationalität
    1.2 Inkommensurabilität
    1.3 Rechnen mit 2?
    1.4 Näherungsverfahren, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit
    1.5 Zur Konstruktion der reellen Zahlen
    1.6 Über den Umgangmit dem Unendlichen
    1.7 Unendliche nicht periodische Dezimalbrüche

2 Aus der Geschichte der Philosophie und Mathematik
    2.1 Pythagoras und die Pythagoreer
    2.2 Platon
    2.3 Aristoteles
    2.4 Euklid
    2.5 Proklos
    2.6 Nikolaus von Kues
    2.7 Descartes
    2.8 Pascal
    2.9 Leibniz
    2.10 Kant
    2.11 Mill und empiristische Konzeptionen
    2.12 Bolzano
    2.13 Gauß
    2.14 Cantor
    2.15 Dedekind
    2.16 Poincaré
    2.17 Peirces Pragmatismus und die Welt der Zeichen
    2.18 Husserls Phänomenologie
    2.19 Logizismus
    2.20 Intuitionismus
    2.21 Konstruktivismus
    2.22 Formalismus
    2.23 Philosophie der Mathematik von 1931 bis in die 1950er Jahre
    2.24 Der evolutionäre Standpunkt – eine neue philosophische
            Grundposition
                2.24.1 Charakterisierung
                2.24.2 Aus Untersuchungen zur Entwicklung der Zahlen
                2.24.3 Schlussnotiz
    2.25 Philosophie der Mathematik nach 1960
                2.25.1 Quasi-empirischeKonzeptionen
                2.25.2 Realismus und Antirealismus Quasi-empirische
                      Konzeptionen Realismus und Antirealismus

3 Über Grundfragen der Philosophie der Mathematik
    3.1 Zum Zahlbegriff
                3.1.1 Überblick über einige Ansichten
                3.1.2 Resümee
    3.2 Unendlichkeiten
                3.2.1 Über die Problematik des Unendlichen
                3.2.2 Die Auffassung des Aristoteles
                3.2.3 Die idealistischeAuffassung
                3.2.4 Der empiristische Standpunkt
                3.2.5 Unendlichkeit bei Kant
                3.2.6 Die intuitionistische Unendlichkeit
                3.2.7 Die logizistische Hypothese des Unendlichen
                3.2.8 Unendlichkeit und die neuere Philosophie der Mathematik
                3.2.9 Formalistische Haltung und heutige Tendenzen
    3.3 Das Kontinuum und das unendlich Kleine
                3.3.1 Das allgemeine Problem
                3.3.2 Aus der Geschichte des Kontinuums
                3.3.3 Was ist ein Punkt?
                3.3.4 Aus der Geschichte des Kontinuums – Fortsetzung
                3.3.5 Eine Übersicht über Auffassungen des Kontinuums
                3.3.6 Notizen zur Arithmetisierung des Kontinuums
                3.3.7 Das Ende der Infinitesimalien und ihre Wiederentdeckung
                3.3.8 Nichtstandardzahlen und das Kontinuum
                3.3.9 Folgen für die Auffassung des Kontinuums
                3.3.10 DasVerschwinden der Größen
                3.3.11 Abschließende Bemerkungen
    3.4 Zum Problem der Anwendbarkeit der Mathematik
               3.4.1 Aspekte des Problems
               3.4.2 Das Problem der Anwendung in historischen Auffassungen
               3.4.3 Die klassischen Positionen
               3.4.4 NeuereKonzeptionen
               3.4.5 Rückblick
    3.5 Schluss
                3.5.1 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen
                3.5.2 Inkommensurabilität und Irrationalität
                3.5.3 Adjunktion
                3.5.4 Das lineare Kontinuum
                3.5.5 Das unendlich Kleine
                3.5.6 Konstruktion, Unendlichkeit, unendliche nicht periodische
               Dezimalbrüche
                3.5.7 Schlussbemerkung

4 Mengen und Mengenlehren
    4.1 Paradoxien des Unendlichen
    4.2 Über den Begriff der Menge
                4.2.1 Zusammenfassung versus Zusammensetzung
                4.2.2 Mengen und das Universalienproblem
    4.3 Zwei Mengenlehren
                4.3.1 Die Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel
                4.3.2 Die Mengenlehre nach von Neumann, Bernays und Gödel
                4.3.3 Anmerkungen
                4.3.4 Über Modifikationen
    4.4 Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese
                4.4.1 Suche nach neuen Axiomen
                4.4.2 Weitere Bemerkungen und Fragen
    4.5 Schluss

5 Axiomatik und Logik
    5.1 Einige Elemente der mathematischen Logik
                5.1.1 Syntax
                5.1.2 Semantik
                5.1.3 Kalkül
    5.2 Bemerkungen zur Geschichte
                5.2.1 Aus der Geschichte der Logik
                5.2.2 Zur Geschichte der Axiomatik
    5.3 Logische Axiomatik und Theorien
                5.3.1 Peano-Arithmetik
                5.3.2 Eine Axiomatik für die reellen Zahlen
    5.4 Über die Arithmetik der natürlichen Zahlen
                5.4.1 Zum syntaktischen Aspekt
                5.4.2 Zum semantischen Aspekt
    5.5 Wahrheit und Beweisbarkeit
                5.5.1 Formale Wahrheit
                5.5.2 Vollständigkeit undWahrheit
                5.5.3 Syntaktische Reduktion derWahrheit
                5.5.4 Wahrheit ungleich Beweisbarkeit
                5.5.5 Suche nach Auswegen
                5.5.6 Schlussbemerkung
    5.6 Schlussfolgerungen
                5.6.1 Logik als Hintergrund von Mathematik
                5.6.2 Auswirkungen auf die Gestalt von Mathematik

6 Rückblick
    6.1 Setzung der reellen Zahlen
    6.2 Axiomatische Methode
    6.3 Zahlbegriff
    6.4 Unendlichkeit, Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese
    6.5 Das unendlich Kleine und das Kontinuum
    6.6 Anwendbarkeit
    6.7 Theoretische Grenzen
    6.8 Computereinsatz
    6.9 Was ist Philosophie der Mathematik und wozu dient sie?
    6.10 Evidenz und Transzendenz

A Infinitesimal denken und rechnen
    A.1 Vorbemerkung
    A.2 Die 0,999...-Frage
                A.2.1 Empirisches
                A.2.2 Antwort
                A.2.3 Schlussbemerkung
    A.3 Etwas Infinitesimalrechnung
                A.3.1 Infinitesimal rechnen
                A.3.2 Stetigkeit, Differentialquotient, Ableitung
    A.4 Zur Konstruktion der hyperreellen Zahlen
                A.4.1 Hypernatürliche Zahlen
                A.4.2 Hyperreelle Zahlen
                A.4.3 Wie wird *R ein Modell von R?
                A.4.4 Zur Begründung des naiven infinitesimalen Rechnens
    A.5 Über den Status der Nichtstandardzahlen

Kurzbiographien

Literaturverzeichnis

Index